Logika Matematika

A.        Negasi (Ingkaran)

            Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p

p	~ p
B	S
S	B

B.         Operator Logika

1)      Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.

p ^ q : p dan q

2)      Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”.

p v q : p atau q

3)      Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”.

p -> q : Jika p maka q

4)      Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …”

p <=> q : p jika dan hanya jika q

C.        Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

premis 1	premis 2	konjungsi	disjungsi	implikasi	biimplikasi
p	q	p ^ q	p v q	p -> q	p <=> q
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	B	B

            Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal

1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar,

2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah

3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S)

4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar

D.        Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Bila terdapat bentuk implikasi p Þ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut:

Implikasi	Invers	Konvers	Kontraposisi
p -> q	~ p -> ~ q	q -> p	~ q -> ~ p

Kesimpulan yang dapat diambil adalah:

1) invers adalah negasi dari implikasi

2) konvers adalah kebalikan dari implikasi

3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi

E.         Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen

1)      implikasi = kontraposisi            : p -> q = ~ q -> ~ p

2)      konvers    = invers                      : q -> p = ~ p -> ~ q

3)      ~(p ^ q)   = ~ p v ~ q                 : ingkaran dari konjungsi

4)      ~(p v q)   = ~ p ^ ~ q                 : ingkaran dari disjungsi

5)      ~(p -> q) = p ^ ~ q                    : ingkaran dari implikasi

6)      p -> q      = ~ p v q

7)      ~(p <=> q)  = (p ^ ~ q) v (q ^ ~ p)         : ingkaran dari biimplikasi

F.        Penarikan Kesimpulan

            Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:

1) Modus Ponens                     2) Modus Tollens                     3) Silogisme

(MP)                                   (MT)                                

p -> q	: premis 1	p   -> q	: premis 1	p -> q	: premis 1
p	: premis 2	~q	: premis 2	q -> r	: premis 2
q	: kesimpulan	~p	: kesimpulan	p -> r	: kesimpulan